有趣的“歐拉問題”

無獨有偶，和牛頓一樣，大數學家歐拉也很重視數學教育。他經常親自到中學去講授數學知識，也為學生編寫數學課本。尤其感人的是，1770年，年邁的歐拉雙目都已失明了，仍然念念不忘給學生編寫《關于代數學的全面指南》。這本著作出版以后，很快就被譯成多種外國文字，直到20世紀，有些學校仍然用它作基本教材。

為了搞好數學普及教育，歐拉潛心研究了許多初等數學問題，還編了不少有趣的數學題呢！也許因為歐拉是歷史上最偉大的數學家之一，這些題目流傳特別廣。例如，在各個國家的數學課外書籍里，都能見到下面這道叫做“歐拉問題”的數學題。

兩個農婦共帶了100只雞蛋去集市上出售。兩人的雞蛋數目不一樣，賺的錢卻一樣多。第一個農婦對第二個農婦說：“如果我有你那么多的雞蛋，我就能賺15枚銅幣?！钡诙€農婦回答說：“如果我有你那么多的雞蛋，我就只能賺枚銅幣?！?/p>

問兩個農婦各帶了多少只雞蛋？

歷史上，像這樣由對話形式給出等量關系的題目并不少見。例如在公元前3世紀時，古希臘數學家歐幾里得曾編了一道驢和騾對話的習題：

驢和騾馱著貨物并排走在路上，驢不住地抱怨馱的貨物太重，壓得受不了。騾子對它說：“你發什么牢騷啊！我馱的貨物比你更重。如果你馱的貨物給我1口袋，我馱的貨物就比你重1倍；而我若給你1口袋，咱倆才剛一般多?！?/p>

問驢和騾各馱了幾口袋貨物？

12世紀時，印度數學家婆什迦羅也曾編了一道類似的習題：

某人對一個小朋友說：“如果你給我100枚銅幣，我將比你富有2倍?！毙∨笥鸦卮鹫f：“你只要給我10枚銅幣，我就比你富有6倍?！眴杻扇烁饔卸嗌巽~幣？

但是，“歐拉問題”卻編出了新意，由于兩種假設的結果無倍數關系可言，使得題目中蘊含的等量關系更加難覓行蹤，解題途徑與上述兩題也不相同。

下面是歐拉提供的一種解法。

假設第二個農婦的雞蛋數目是第一個農婦的m倍。因為最后兩人賺得的錢一樣多。所以，第一個農婦出售雞蛋的價格必須是第二個農婦的m倍。

如果在出售之前，兩個農婦已將所帶的雞蛋互換，那么，第一個農婦帶的雞蛋數目和出售雞蛋的價格，都將是第二個農婦的m倍。也就是說，她賺得的錢數將是第二個農婦的m2倍。

于是有。

舍去負值后得m=3/2，即兩人所帶雞蛋數目之比為3∶2。這樣，由于雞蛋總數是100，就不難算出題目的答案了。

想出這種巧妙的解法是很不容易的，連一貫謹慎的歐拉也忍不住稱贊自己的解法是“最巧妙的解法”。