有趣的斐波拉契數列

13世紀初，歐洲最好的數學家斐波拉契寫了一本叫做《算盤書》的著作，它是當時歐洲最好的數學書。書中有許多有趣的數學題，其中最有趣的當屬下面這個題目：

“如果一對兔子每月能生產1對小兔子，而每對小兔在它出生后的第3個月里，又能開始生1對小兔子，假定在不發生死亡的情況下，由1對初生的兔子開始，1年后能繁殖成多少對兔子？”

推算一下兔子的對數是很有意思的。為了敘述的方便，我們假設最初的一對兔子出生在頭一年的12月份。顯然，1月份里只有1對兔子；到2月份時，這對兔子生了1對小兔，總共有2對兔子；在3月份里，這對兔子又生了1對小兔，總共有3對小兔子；到4月份時，2月份出生的兔子開始生小兔了，這個月共出生了2對小兔，所以共有5對兔子；在5月份里，不僅最初的那對兔子和2月份出生的兔子各生了1對小兔，3月份出生的兔子也生了1對小兔，總共出生了3對兔子，所以共有8對兔子……

照這樣繼續推算下去，當然能夠算出題目的答案，不過，斐波拉契對這種方法很不滿意，因為它稍一不慎就會出現差錯。于是他又深入探索了題中的數量關系，它把推算得到的頭幾個數擺成一串。

1、1、2、3、5、8……

這串數里隱含著一個規律，從第三個數起，后面的每個數都是它前面那兩數的和。而根據這個規律，只要作一些簡單的加法，就能推算出以后各個月兔子的數目了。這樣，要知道1年后兔子的對數是多少，也就是看這串數的第十三個數是多少。由5+8=13，……55+89=144，89+144=233，題目的答案是233對。

按照這個規律推算出來的數，構成了數學史上一個有名的數列。大家都叫它“斐波拉契數列”。這個數列有許多奇特的性質，例如，從第三個數起，每個數與它后面那個數的比值，都很接近0.618，這正好和大名鼎鼎的“黃金分割律”相吻合。