著名的哥德巴赫猜想

大約在250年前，德國數(shù)學家哥德巴赫發(fā)現(xiàn)了這樣一個現(xiàn)象：任何大于5的整數(shù)都可以表示為3個質(zhì)數(shù)的和。他驗證了許多數(shù)字，這個結(jié)論都是正確的。但他卻找不到任何方法從理論上徹底證明它，于是他在1742年6月7日寫信向當時在柏林科學院工作的著名數(shù)學家歐拉請教。歐拉認真地思考了這個問題。他首先逐個核對了一張長長的數(shù)字表：

6=2+2+2=3+3

8=2+3+3=3+5

9=3+3+3=2+7

10=2+3+5=5+5

11=5+3+3

12=5+5+2=5+7

99=89+7+3

100=11+17+71=97+3

101=97+2+2

102=97+2+3=97+5

……

這張表可以無限延長，而每一次延長都使歐拉對肯定哥德巴赫的猜想增加了信心。而且他發(fā)現(xiàn)證明這個問題實際上應該分成兩部分。即證明所有大于2的偶數(shù)總能寫成2個質(zhì)數(shù)之和，所有大于7的奇數(shù)總能寫成3個質(zhì)數(shù)之和。

當他最終堅信這一結(jié)論是真理的時候，就在6月30日復信給哥德巴赫。信中說：“任何大于2的偶數(shù)都是兩個質(zhì)數(shù)的和，雖然我還不能證明它，但我確信無疑這是完全正確的定理。”

由于歐拉是頗負盛名的數(shù)學家，所以他的信心鼓舞了無數(shù)的科學家。但是，直到19世紀末這個問題也沒有取得任何進展。這一看似簡單實則困難無比的數(shù)學問題長期以來一直困擾著數(shù)學界。誰能證明它誰就能登上了數(shù)學王國中的山峰。因此有人把它比作“數(shù)學皇冠上的一顆明珠”。

實際上早已有人對大量的數(shù)字進行了驗證，對偶數(shù)的驗證已達到1.3億個以上，還沒有發(fā)現(xiàn)任何反例。那么為什么還不能對這個問題下結(jié)論呢？這是因為自然數(shù)有無限多個，不論驗證了多少個數(shù)，也不能說下一個數(shù)必然如此。數(shù)學的嚴密和精確要求任何一個定理都要給出科學的證明。所以“哥德巴赫猜想”幾百年來一直未能變成定理，這也正是它以“猜想”身份聞名天下的原因。

要證明這個問題有幾種不同的方法，其中一個是證明某個數(shù)為兩數(shù)之和，其中第一個數(shù)的質(zhì)因數(shù)不超過a個，第二數(shù)的質(zhì)因數(shù)不超過b個。這個命題稱為“a+b”。最終是要證明“a+b”為“1+1”。

1920年，挪威數(shù)學家布朗教授用古老的篩選法證明了任何一個大于2的偶數(shù)都能表示為9個質(zhì)數(shù)的乘積與另外9個質(zhì)數(shù)乘積的和，即證明了“a+b”為“9+9”。1924年，德國數(shù)學家證明了“a+b”為“7+7”；1932年，英國數(shù)學家證明了“a+b”為“6+6”；1937年，蘇聯(lián)數(shù)學家維諾格拉多夫證明了一個足夠大的奇數(shù)可以表示為3個奇質(zhì)數(shù)之和，這使歐拉設想中的奇數(shù)部分有了結(jié)論，剩下的只有偶數(shù)部分的命題有待證明了。

1938年，我國數(shù)學家華羅庚證明了幾乎所有偶數(shù)都可以表示為一個質(zhì)數(shù)和另一個質(zhì)數(shù)的方冪之和。

1938年到1956年，蘇聯(lián)數(shù)學家又相繼證明了“5+5”、“4+4”和“3+3”。1957年，我國數(shù)學家王元證明了“2+3”；1962年，我國數(shù)學家潘承洞與蘇聯(lián)數(shù)學家巴爾巴恩各自獨立證明了“1+5”；1963年，潘承洞、王元和巴爾巴恩又都證明了“1+4”。1965年，幾位數(shù)學家同時證明了“1+3”。

1976年，我國青年數(shù)學家陳景潤在對篩選法進行了重要改進之后，終于證明了“1+2”。他的證明震驚中外，被譽為“推動了群山”，并被命名為“陳氏定理”。他證明了如下的結(jié)論：任何一個足夠大的偶數(shù)，都可以表示成兩個數(shù)之和，其中一個數(shù)是質(zhì)數(shù)，別一個數(shù)或者是質(zhì)數(shù)，或者是兩個質(zhì)數(shù)的乘積。