殘殺戰俘的數學故事

在一次戰爭中，64名戰士被俘虜了。敵人命令他們排成一個圓圈，分別編上1、2、3、4……64的號碼。然后，從1號開始殘殺，接著是3號、5號……隔一個殺一個。這樣轉著圈殺，最后剩下一個人，這個人就是約瑟夫斯。請問：約瑟夫斯是多少號？

敵人從1號開始，隔一個殺一個，就是第一圈把奇數號碼戰士全殺死了。剩下32名戰士需重編號，而第二圈殺死的是重新編排的奇數號碼。第一圈剩下全部是偶數號2、4、6……64。因為先前64名戰士已經被殺害一半，所以剩下的人是64除以2，共32個人，他們重新編的號碼是1、2、3……32。而第二圈殺過之后，又把這一次編成的奇數號碼的戰士全都殺掉了，還剩下16個人。這樣一直到最后，剩下的必然是一開始的64號，所以答案是約瑟夫斯是64號。

再把問題改一下：不讓戰俘站成圓圈，而排成直線，再編上號碼。從1號開始，隔一個殺一個，殺過一遍之后，然后再重新編號，從新1號開始，再隔一個殺一個，問最后剩下的還是64號約瑟夫斯嗎？答案是肯定的。

如果戰俘人數是65人呢？這回剩下的還是約瑟夫斯。只要人數不超過128，那么最后剩下的總是約瑟夫斯。因為從1到128中間，能被整除次數最多的就是64。而敵人每次都是殺奇數號，留偶數號，所以64號總是最后被留下的人。