中國數學·魏晉南北朝數學

魏晉南北朝是指從三國到隋文帝統一中國之前的時代，在此期間，中國數學的各項成就達到了高峰，而中國數學的傳統、特色也有了明確的顯示。

三國時代吳人趙爽，字君卿，身世不詳。曾為《周髀》作注，在“注” 中，有 “負薪余日，聊觀《周髀》”之類語句，依此而論，趙爽當是一介寒儒。他不但補繪了“日高圖”及“七衡圖”;他還撰寫了“勾股圓方圖”注、“日高圖”注、“七衡圖”注;在“勾股圓方圖”注中，他用五百余字，論證了勾股原理，并論證了有關勾、股、弦的二十多條命題，在“日高圖”注中，他對所謂“日高術”即重差術，也給予幾何證明，在“七衡圖”注中，他對蓋天學說的理論作了說明，所有這些，對后世研討《周髀》者都有很大裨益。例如“勾股圓方圖”注說：“勾、股各自乘，并之為弦實。開方除之，即弦。案弦圖又可以勾、股相乘為朱實二，倍之為朱實四。以勾、股之差自相乘為中黃實。加差實一，亦成弦實。”其前一句是重復論述勾股原理，而后一句則是以面積概念證明了勾股原理 (圖5)。即：

設勾、股、弦分別為a、b、c，勾股原理即：

其證明過程為：

勾、股相乘為朱實二 ab

倍之為朱實四 2ab

以勾、股之差自相乘為中黃實 (b-a)²

加差實一，亦成弦實 2ab+ (b-a)²＝c²

這是中國對勾股原理第一次嚴密的證明。

圖5

在“日高圖”下，趙爽注說：“黃甲與黃乙其實正等。以表高乘兩表相去為黃甲之實。以影差為黃乙之廣而一，所得，則變得黃乙之袤，上與日齊。按圖當加表高，今言八萬里者，從表以上復加之。青丙與青己其實亦等。黃甲與青丙相連，黃乙與青己相連，其實亦等”。這是中國古代推求日高的傳統方法，一般稱為“重差術”，就是在平地上立兩根等高的表，當日光照射兩表時，兩表即有表影。根據兩表相對位置、高度、影長便可求得日高。其計算公式為：

日高=[ (表高×兩表間距離)

÷兩表之影差] +表高

為了說明這一算法的正確性，趙爽給予嚴密的證明(圖6)：

圖6

黃甲與黃乙其實正等 □BH=□HN

以表高乘兩表相去為黃甲之實 BC×BG=□BH

以影差為黃乙之廣而一 □HN÷(GK-BE)=HO

所得則變得黃乙之袤，上與日齊 HO=(BC×BG)÷(GK-BE)

按圖當加表高 AR=[(BC×BG)÷(GK-BE)]+BC

今言八萬里者，從表上復加之 其中所說“八萬里”，是《周髀》所推算的日高數字

青丙與青己其實亦等 □AC=□JM

黃甲與青丙相連，黃乙與青

已相連，其實亦等 □AC+□BH=□HN+□JM

趙爽可能根據這樣等積關系證明上述日高公式的：長方形的一條對角線，將長方形分割成等積的兩部分，因而可得右上小長方形與左下小長方形等積(圖7)。趙爽對日高公式的論證，為重差理論的發展奠定了堅實的基礎。

圖7

在《周髀算經注》中，趙爽不但在數學方面作了精采的闡述，還寫出了珍貴的治學之道;他說“累，重也。若誠能重累思之，則達至微之理”。在數學研究上，他主張“累思”;只有累思才能貫通各種道理。他還說“凡教之道，不憤不啟，不悱不發;憤之，悱之，然后啟發，……，舉一隅，使反之以三也”。在數學的學習中，不僅要獨立思考，而且還要舉一反三。只有這樣才能收到良好的教益。

略晚于趙爽的是劉徽。劉徽是魏、晉期間杰出布衣數學家，其身世不詳，經初步考證，當是現今山東人，曾為《九章算術》作過注解; 劉徽《九章算術注》中，在數學理論上、方法上、技巧上、程序上多所建樹和發明，為中國數學奠定了傳統的理論基礎，為中國數學形成了獨特的理論體系，其錚錚之詞，鏗鏘有聲。

劉徽利用 “出入相補原理”，即圖形的分、合、移、補的方法證明平面圖形如圭田、邪田、箕田、圓田、宛田、弧田、環田的面積算法，還用以證明勾股原理。《九章·方田》圭田術為“半廣以乘正從”。劉徽注稱“半廣者，以盈補虛為直田也。亦可半正從以乘廣。按半廣乘從，以取中平之數。故廣、從相乘為積步”。劉徽把“圭田”即等腰三角形割補成長方形，依據長方形的面積算法推證“圭田”的面積算法(圖8)。故得：

圭田面積=1/2×(廣)×(正從)=1/2×(正從)×(廣)

圖8

《九章·勾股》勾股術為“勾股各自乘，并而開方除之，即弦”。劉徽注稱：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不移動也。合成弦方之冪，開方除之，即弦也。”其證明方法，就是把勾方之“朱出”部分，補入“朱入”之處;再把股方之“青出”部分，補入“青入”部分;便合成了弦方。開平方求其邊長，即得其弦長 (圖9)。即：

圖9

劉徽還利用面積理論證明了可以與希臘哲學家畢達哥拉斯(Pythagoras，約公元前580—500)、哲學家柏拉圖(Plato，公元前427—347)以及數學家歐幾里得(Euclid，約公元前330—275)相媲美的整數勾股弦的一般公式。

設勾、股、弦分別為a、b、c，整數勾股弦一般公式為：

a∶b∶c=[m²-(1/2)(m²+n²)]

∶mn∶(1/2) (m²+n²)

關于直線型平面圖形的面積算法，劉徽都是以“出入相補原理”證明的。對于圓型平面圖形如圓田、弧田的面積算法，劉徽則是利用極限觀念和出入相補原理也即所謂“割圓術”證明其面積算法，并求得圓周率較精密之值分別為：

π=157/50=3.14

π=3927/1250=3.1416

對于環田，乃是將環田之周拉直，使變為等積的梯形，再用出入相補原理證明其面積算法。在算法理論上、數學思想上，劉徽的這一套理論和方法是十分珍貴的。

劉徽把環田之周拉直，使之變形為等積的梯形。實際上這是一種“化曲為直”或“以直代曲”的思想，這種思想一方面體現在《九章》商功章“曲池術”下注文中，他說“此池環而不通匝，表如盤蛇而曲之。亦云周者，謂如委谷依垣之周耳。引而伸之，周為袤，求袤之意，環田也”。一方面體現在《九章》勾股章“葛之纏木術”下注文中，他說“以筆管青線宛轉有似葛之纏木，解而觀之，則每周之間，自有相間成勾股弦”。也即是說，他不但把一些平面曲線即圓弧拉成直線，還把空間曲線即柱面螺旋線拉成直線。劉徽這種思想成為中國數學的一項傳統、特色，并影響著后世。

劉徽在推證勾股原理的基礎上，還用面積理論推證有關勾、股的各種線段的求法，還用相似勾股形性質推證“勾股容方”、“勾股容圓”的算法，也證明了簡單的測量算法。“勾股容方”即是推求直角三角形內接正方形的邊長，勾股章第15問為“今有勾五步，股十二步。問勾中容方幾何”。術文為“并勾、股為法，勾、股相乘為實，實如法而一，得方一步”。設勾、股分別為a=5，b=12，其內接正方形之邊長為x。按術乃得：

x=ab÷(a+b)=5×12÷(5+12)=3+(9/17)

劉徽一方面用相似形性質即比例證明這一算法的正確性，一方面用面積理論證明這一算法的合理性。“勾股容圓”即是推求直角三角形內切圓的直徑，勾股章第16問為“今有勾八步，股十五步。問勾中容圓，徑幾何”。術文為“八步為勾，十五步為股，為之求弦。三位并之為法，以勾乘股，倍之為實。實如法得徑一步”。設勾、股分別為a=8，b=15，弦為c，內切圓直徑為d，按術乃得：

d =2ab÷ (a+b+c)

＝2×8×15÷ (8+15+17) =6

其中c=＝17。劉徽是一方面用“出入相補原理”證明此算法，一方面用相似形性質推證此算法，在注文之末，又給予推求內切圓直徑的四種算法。即：

d=a-(c-b)

d=b-(c-a)

d=(a+b)-c

劉徽對于直線型柱體如城、垣、堤、溝、塹、渠的體積或容積算法，也以“出入相補原理”予以證明;他把“出入相補原理”作為一條普遍原理，幾乎應用于全部的幾何中。劉徽又利用三種基本幾何體，即塹堵、陽馬、鱉臑，先證明三種基本幾何體的體積算法，再把直線型非柱體的立體分割為三種基本幾何體，然后證明其體積或容積的算法。可見，他把三種基本幾何體作為多面體體積算法的理論關鍵。例如，他推證方亭體積，即正四棱臺體積時，把方亭分割為一長方體、四塹堵、四陽馬，由長方體、陽馬、鱉臑的體積算法，推證方亭的體積算法為：

方亭= (1/3) (上方²+上方×下方+下方²) ×高

其中“上方”、“下方”分別是正四棱臺的上、下底邊之長。又如他把方錐，即正四棱錐分割為四個陽馬，由陽馬的體積算法，推證方錐的體積算法為：

方錐= (1/3) ×下方²×高

其中“下方”即是方錐下底之邊長。再如，對于羨除、芻甍、芻童、盤池等立體，也都是分割為若干個三種基本幾何體進行論證的。

劉徽在推證圓型立體體積算法時，采用了“截割原理”，即是在圓柱、圓錐、圓臺上，分別作一外切方柱、方錐、方臺，以圓型立體與其外切方型立體體積之比為π∶4，于是，可從方型立體的體積算法推證得圓型立體的體積算法。如劉徽推證圓亭體積，即正圓臺的體積時，其算法為：

圓亭=(1/3)(1/4π)(上周²+上周×下周

+下周²⁾×高

＝(π/4)方亭

＝(π/4)[(1/3)(上方²+上方×下方

+下方²⁾×高]

其中“上周”、“下周”分別是圓亭上、下底之周長。而“上方”、“下方”分別是圓亭外切正四棱臺上底、下底一邊之長。在《九章》中，一般取圓率為π=3。又如他推證圓錐體積，即正圓錐體積時，其算法為：

圓錐= (1/3) (1/4π) (下周²⁾ ×高

＝(π/4) 方錐= (π/4) [ (1/3) ×

(下方²⁾ ×高]

其中“下周”即圓錐下底之周長，“下方”即圓錐外切方錐下底之邊長。劉徽在推求圓型立體體積運算中，提出圓柱、圓亭、圓錐、與其外切方柱、方亭、方錐體積之比為π∶4，這是十分正確的論斷，不但對推算圓型立體體積給予了一條捷徑，而且是中國數學的一項突出成就。在推求球體積問題上，劉徽取一正方體，在正方體內作相互垂直的兩圓柱面，稱兩圓柱的公共部分為“牟合方蓋”，再在“牟合方蓋”里作一內切球，他深知“牟合方蓋”與其內切球體積之比為4∶π。雖然他未能求得球體積的算法，但提出“牟合方蓋”與其內切球體積之比，在算法理論上、數學思想上都是十分珍貴的。

在代數方面，劉徽也有不少杰出的貢獻。例如，他對分數、正負數及其運算都有獨到的論述，對于某些無理數即二次根數也有逼近的描述。在實數領域中，可以說中國古代已形成基本的體系。《九章》對“方程”即所謂線性方程組的解法，原是“直除法”，即是連續相減的消元法，劉徽把“直除法”推廣為“互乘對減”的加減消元法，并提出消去常數項法;使線性方程組的解法達到盡善盡美的地步。對于衰分算法、等比級數、等差級數、調和級數等項，都有創新工作。他還明確地給予等差級數的求和公式、通項公式、公差公式。即：

S_n＝[a₁+(n-1)(d/2)]×n

＝n·a₁+[n(n-1)]×(d/2)

a_n＝a₁+ (n-1) ×d

d= (a_m-a_n) ÷ (m-n)

其中“S_n”、“a₁”、“n”、“d”、“a_n”以及“a_m”分別是等差級數的前n項之和、首項、項數、公差、第n項以及第m項。

劉徽對數學名詞改變了“約定俗成”的慣例，對一些名詞給予明確的定義，如把“率”定義為“凡數相與者，謂之率”。“等除法實，相與率也”。即是說，凡數與數之比，稱之為“率”，約簡兩數之比，則稱為“相與率”。并把“率”概念幾乎應用到所有算法之中，作為各種算法的主線。給正負數所下定義為：“今兩算得失相反，要令正負以名之。”還給“方程”下了正確的定義，既給出“方程”有確切解的條件，又給出 “方程”的同解理論，并創造性的給出 “方程”的新解法。此外，劉徽還對冪、齊同通、列衰、開平方、開立方、鱉臑、陽馬、塹堵、勾、股、弦等數學名詞都給出正確的定義。劉徽的這些定義，不但沒有含混不清之詞，也沒有循環定義之舉，都合于邏輯，因而成為演繹論證的理論依據。劉徽在推理演繹與證明方法上，既有歸納，也有演繹;既有綜合法，也有分析法，還有反證法; 在邏輯方面是十分豐富的。在中國數學理論的發展上，形成了第一次高峰。

西漢時期，主張蓋天學說的天文學家創造了測量日高、遠的方法，稱之為重差術，到劉徽時代，幾乎失傳。劉徽乃潛心研究測量原理，使重差術加以發展，并由兩次測望推廣至三次、四次測望，編撰九道測量問題，綴于《九章算術》之終。他說“輒造《重差》，并為注解，以究古人之意，綴于《勾股》之下。度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望”。唐代，李淳風為國子監審定數學教材，使另行單本，因其第一問為“今有望海島”，故稱之為《海島算經》。可見劉徽在測量理論上的成就是卓著的。

生活在南北朝宋、齊時代的著名數學家祖沖之及其子祖暅，對數學有很出色的貢獻，例如他們父子曾作《綴術》一書，可惜早已失傳。保留至今的，只有祖沖之所創造的圓周率，即：

介于盈朒二限：3.1415926<π<3.1415927

密率：π=355/113

約率：π=22/7

還有其子祖暅解決了劉徽所提出的“牟合方蓋”體積問題，從而得到球體積的巧妙證法。

在南北朝成書的數學名著有《孫子算經》及《張邱建算經》。《孫子算經》三卷，是一部數學普及著作，其中著名的問題有卷下“雞兔同籠”問題和“物不知數”問題。“雞兔同籠”題稱：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉兔各幾何。”“術曰：上置三十五頭，下置九十四足。半其足得四十七。以少減多，再命之，上三除下四，上五除下七。下有一除上三，下有二除上五，即得。又術曰：上置頭，下置足。半其足，以頭除足，以足除頭，即得。”表示以現代形式，即：