沈(括)學·《夢溪筆談》的學術價值、研究·數學

在祖國的科學進展上，沈括在數學方面也取得了杰出成就。他發展了九章算術以來的等差級數，創造了一種新的高等級數——“隙積術”，用以求累層堆積的甕、缸、瓦盆之類物件的體積總和(見第301條)。隙積術，即堆垛之術，清末數學家顧觀光(1799—1862) 曾說： “堆垛之術詳于楊 (輝)、朱(世杰)氏二書，而創始之功，斷推沈氏。”(顧觀光《九數存古》卷五)設堆垛體的上下寬分別為a和c，上下長分別為b和d，高為h，依《筆談》原文所述的計算法譯為現代數學公式是：

堆垛體數目

數學史家李儼(1892—1963)和許莼舫，曾從近代數學的角度證明(1)式的正確性(李儼《中算史論》第一集，中國科學院出版，1954年，第336頁;許莼舫《中算家的代數學研究》，開明書店，1952年第二版，第28—29頁)。可惜《筆談》未交代該式的證明過程，許莼舫和李繼閔兩先生各自用一種演段移補法推出過(1)式(許莼舫《古算趣味》，開明書店，1951年第三版，第87—91頁)。以新的斷句補證了 (1) 式，以便接近 《筆談》原意。

沈括的隙積術是《九章算術》中“芻童術”的發展，和后世西方的“積彈”問題相當，它的出現，奠定了高階等差級數求和問題的基礎。沈括以后，南宋錢塘人楊輝(約十三世紀)在《詳解九章算法》，元代朱世杰在《四元玉鑒》中，將沈括的隙積術推廣發展為更一般的高階等差級數求和的 “垛積術”。

《筆談》第301條又說：“凡圓田，既能拆之，須使會之復圓，古法惟以中破圓法拆之，其失有及三倍者。予別 (無析)〔為拆〕會之術，置圓田，徑半之以為弦，又以半徑減去所割數，余者為股各自乘，以股除弦，余者開方除為勾，倍之為割田之直徑。以所割之數自乘(退一位)倍之，又以圓徑除所得，加入直徑，為割田之弧。再割亦如之，減去已割之(數)〔弧〕，則再割之 (數) 〔弧〕也。”

此法即沈括的“會圓術”，譯成現代數學語言就是已知圓的直徑d和弓形的高b，求弓形的弦長c和弧長1的方法。

沈括的計算公式是：

(2)式可用勾股定理證明，(3)式是我國數學史上第一個求弧長的近似公式，當是沈括根據《九章算術》“方田”章內所載的弓形面積的近似公式： S=(bc+b²⁾推出的。后來，元朝天文學家郭守敬(1231—1316)加以發展，應用于黃道積度和時差的計算(王錦光、聞人軍《沈括的科學成就與貢獻》)。

除了“隙積術”和“會圓術”之外，沈括在天文學計算問題上曾經提出了“圓法”和“妥法”，涉及到球面三角學問題，對此，李志超認為這可能是沈括從幾何模型出發，用他的會圓術那類方法發展出的新算法，“圓法”、“妥法”也許是一種粗疏的球面三角法 (李志超 《沈括的天文研究 (一)，刻漏和妥法》，《中國科學技術大學學報》，1978年第8卷第一期)。“圓法”和“妥法”是數、形結合的新的數學方法，它的含義尚有待于進一步探索。

由《筆談》的記載可知，沈括曾用數學知識研究軍糧的運輸，提出了“運精之法”，其中含有運籌思想的萌芽。他研究過圍棋局總數，用組合數學的方法計算出棋局總數為3³⁶¹，錢寶琮先生指出： “ (沈括)不自覺地運用了指數定律。”(錢寶琮《宋元數學史論文集》，科學出版社，1966年，第269頁)

沈括的數學成就在數學史上占有重要的地位。早在本世紀二十年代，日本數學史家三上義夫就對沈括的數學成就作過很高的評價。他說：“予以沈括為中國算學之模范的人物或理想的人物，誠克當也。”三上義夫認為沈括“多藝多能”，且有 “經世才”，在世界上罕有其匹 (三上義夫著、林科棠譯《中國算學之特色》，《萬有文庫》本，第8—9頁)。