繪一地圖需幾種顏色

關(guān)于四色問題，還有一個很有趣的故事呢！19世紀末期，德國有一位很著名的數(shù)學家叫閔可夫斯基。一天，他剛走進教室，一個學生就遞上一張小紙條。小紙條上寫著：“如果把地圖上共同邊界的國家都涂成不同的顏色，那么，畫一幅地圖只用4種顏色就夠了。您能解釋其中的道理嗎？”

閔可夫斯基笑了笑。對學生們說：“這個問題叫做四色問題，是一個著名的數(shù)學難題。其實，它之所以一直沒有得到解決，那僅僅是由于沒有第一流的數(shù)學家來解決它。”說完他就拿起粉筆，要當堂解決這個問題。

下課的鈴聲很快就響了，閔可夫斯基沒能當堂解決這個問題，于是下一節(jié)課又去解答。一連好幾天，他都未能解決這個問題，弄得他進退兩難，十分尷尬。

有一天上課時，閔可夫斯基剛跨進教室，忽然雷聲大作，震耳欲聾，他趕緊抓住機會，自嘲地說：“瞧，上帝在責備我狂妄自大呢！我解決不了這個問題。”

閔可夫斯基確實夠“狂妄自大”了。別看誰都能弄懂四色問題的意思，可要解決它，并不比攀登珠穆朗瑪峰容易多少。

相傳，四色問題是由一個叫格思里的英國繪圖員提出來的。

1852年，格思里在繪制英國地圖時發(fā)現(xiàn)，如果給相鄰的地區(qū)涂上不同的顏色，那么，只用4種顏色就足夠了。他把這個發(fā)現(xiàn)告訴給正在大學里念書的弟弟，希望能解釋一下其中的道理。弟弟認真研究了這個問題，結(jié)果，他既不能證明哥哥的結(jié)論是正確的，又不能否定這個結(jié)論，于是就向他的老師、著名英國數(shù)學家德·摩爾根請教。德·摩爾根也解釋不出其中的道理。寫信將這個問題告訴給另一位著名數(shù)學家哈密頓。德·摩爾根認為，像哈密頓那樣聰明的人，一定很快就能給予證明的……

四色問題一直未能得到解決。1878年，當時英國最有名的數(shù)學家凱利，正式向倫敦數(shù)學會提出了這個問題，這才引起數(shù)學界的重視。事情的進展頗具戲劇性。不到一年，一個名叫肯泊的律師就發(fā)表了一篇論文，聲稱他已經(jīng)證明了四色問題。人們以為這件事情就此完結(jié)了。誰知到了1890年，數(shù)學家赫伍德卻在肯泊的文章里找出一處錯誤來，并指出他的證明實際上是不能成立的。

赫伍德“乘勝追擊”，證明了給地圖著色的“五色定理”。也就是說，如果給相鄰的地區(qū)涂上不同的顏色，那么，畫一幅地圖只用5種顏色就行了。

可是，繪制一幅地圖明明只要4種顏色就足夠了呀！越來越多的數(shù)學家投身于證明四色問題的工作，但卻一無所獲。人們這才意識到，這個看上去極其簡單的題目，實際上是一道與哥德巴赫猜想一樣的超級數(shù)學難題。

進入20世紀后，證明四色問題的工作逐漸取得了進展。1939年，美國數(shù)學家富蘭克林證明，對于22國以下的地圖，可以只用4種顏色著色。1950年，有人得出證明，對于35國以下的地圖，可以只用4種顏色著色。1968年，有人得出證明，對于39國以下的地圖，可以只用4種顏色著色。1975年，又有人得出證明，對于52國以下的地圖，也可以只用4種顏色著色。

為什么進展這樣緩慢呢？一個主要的困難，就是數(shù)學家們提出的檢驗方法太復雜，難以實現(xiàn)。早在1950年，有人猜測說，如果要把情況分析到可以完成證明的地步，大約得分1000多種情況才行。這樣的工作量太繁重了。

電子計算機問世以后，人類的計算能力得到了迅速的提高。事情出現(xiàn)了一線轉(zhuǎn)機。可是，在1970年，有人提出了一種證明四色問題的方案，如果用當時最快的電子計算機來算，也得不停地工作10萬個小時，差不多要11年。

11年，對于電子計算機來說，這個任務也太艱巨了。

誰知不到7年就是1976年9月，《美國數(shù)學會通告》就宣布了一個震撼世界數(shù)學界的消息：美國數(shù)學家阿佩爾和哈肯，采用簡化了的證明方案，將地圖的四色問題轉(zhuǎn)化為1482個特殊圖的四色問題，利用IBM360計算機工作了1200多個小時，作了100億個判斷，終于證明了四色問題是正確的。

從此，四色問題變成了四色定理。這是人類首次依靠電子計算機的幫助解決的著名數(shù)學難題。人類靠機器“完成了人沒有能夠完成的事情”，由此帶來了一系列的新問題：怎樣檢驗阿佩爾和哈肯的證明呢？顯然，這還得靠電子計算機。

有些數(shù)學家問能不能給出一個簡潔的手算證明，另一些數(shù)學家則反問說，數(shù)學定理的證明一定要手算的證明才算是證明嗎？

計算機在四色問題上的應用，牽引出了許多重要的課題。有很多人認為，它很可能成為數(shù)學思想發(fā)展史上一個重要的里程碑。