“五家共井”問題由來

我國最早提出不定方程問題，它是由“五家共井”引起的。在古代還沒有自來水，幾家合用一個水井是很常見的事?！毒耪滤阈g》第八章第十三題就是“五家共井”的問題，用現代的話說就是：

五家共用一水井。井深比2條甲家繩長還多1條乙家繩長；比3條乙家繩長還多1條丙家繩長；比4條丙家繩長還多1條丁家繩長；比5條丁家繩長還多1條戊家繩長；比6條戊家繩長還多1條甲家繩長。如果各家都增加所差的另一條取水繩索，剛剛好取水。試問井深、取水繩長各多少？

雖然該問題是虛構的，但它是最早的一個不定方程問題。

用現代符號，可以設甲、乙、丙、丁、戊各家繩索長分別為x、y、z、u、v，井深為h。根據題意，可得

這是一個含有6個未知數和5個方程的方程組。未知數的個數多于方程個數的方程或方程組叫不定方程。用加減消元法可得

給定h不同的數值，就可以得到x、y、z、u和v的各個不同的數值。只要再給定一些特定條件，就可得到確定的組解。原書中只給出一組解，是最小正整數解。

“五家共井”問題，曾引起世界上很多數學家的關注。在西方史書中，最早研究它的是希臘數學家丟番圖，比我國遲了200多年。