勾股定理

【概說】

勾股定理是一個基本的幾何定理，是數形結合的紐帶之一。中國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。并總結出：勾三股四弦五。當直角三角形的兩條直角邊分別為3、4的時候，斜邊就一定是5。結論擴展開是，直角三角形的兩個直角邊的平方之和等于斜邊的平方。再進一步展開，當一個直角三角形的任意兩條邊確定之后，這個三角形就確定了。

用A、B和C分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么A2+B2=C2。

這個定理在中國又稱為“商高定理”，在外國又稱為“畢達哥拉斯定理”或者“百牛定理”（畢達哥拉斯發現了這個定理后，斬了百頭牛作為慶祝，因此又稱“百牛定理”）。法國、比利時人又稱這個定理為“驢橋定理”。他們發現的時間都比中國晚，中國是最早發現這一幾何寶藏的國家。

【故事錦囊】

1876年的一天傍晚，在美國華盛頓的郊外，一位中年人正在散步，欣賞著日落時的美景，他就是當時俄亥俄州議員加菲爾德。

他在散步的時候，發現附近的一個小石凳上坐著兩個小孩，正在爭論著什么。加菲爾德非常好奇，就走了過去，想看看他們在爭論什么。

只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。加菲爾德便問他在干什么？那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊的長是多少？”加菲爾德答道：“是5。”小男孩又問：“如果兩條直角邊分別為5和7，那么斜邊又是多少？”加菲爾德不假思索地說：“斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又問：“先生，你能說出道理嗎？”加菲爾德一時語塞，無法解釋了。加菲爾德馬上回到家里，一直琢磨小男孩今天給他出的難題。經過思考，終于弄清了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。

這個直角梯形由2個直角邊分別為a、b，斜邊為c的直角三角形和1個直角邊為c的等腰直角三角形拼成的。3個直角三角形的面積之和等于梯形的面積，列出等式：

化簡得

c2=a2+b2

這種證明方法用了梯形面積公式和三角形面積公式，證明起來更加簡潔，在數學史上一度被傳為佳話。

【知識庫】

畢達哥拉斯樹

畢達哥拉斯樹是畢達哥拉斯根據勾股定理所畫出來的一個可以無限重復的圖形。因為重復數次后的形狀好似一棵樹，所以被稱為“畢達哥拉斯樹”。

兩個相鄰的小正方形面積的和等于相鄰的一個大正方形的面積。

利用不等式A2+B2≥2AB可以證明下面的結論：

三個正方形之間的三角形，其面積小于等于大正方形面積的四分之一，大于等于一個小正方形面積的二分之一。