《九章算術》的主要內容,《九章算術》導讀

《九章算術》唐宋間又稱《九章算經》、《黃帝九章算經》，是中國古代最重要的數學經典，《算經十書》之一。其本文為西漢張蒼、耿壽昌在先秦遺文基礎上結合當時實際先后刪補而成。傳本《九章算術》合本文、魏劉徽注、唐李淳風等注釋于一體。在唐末已有幾個文字稍有歧異的抄本。北宋元豐七年(1084)首次由秘書省刊刻，今不傳。南宋鮑澣之嘉定六年(1213)翻刻，至清初僅有一孤本，存卷1—5，今藏上海圖書館。1980年，文物出版社影印，收入《宋刻算經六種》。清康熙元年(1662)毛扆影抄南宋本，是為汲古閣本，后轉入清宮，今存臺北故宮博物院。1932年，北平故宮博物院影印，收入《天祿琳瑯叢書》。明修《永樂大典》，取另一抄本分類抄入算字條諸卷，今存卷16343，16344，含本書卷3之下半卷及卷4的內容;藏劍橋圖書館，1960年，中華書局影印。清乾隆間修《四庫全書》，戴震于乾隆三十九年(1774)從《永樂大典》輯出本書，加以校勘、補圖、略加注釋，抄入《四庫全書》，又收入《武英殿聚珍版叢書》。戴震又于乾隆四十一、四十二年取汲古閣本與《永樂大典》輯本先后兩次合校，分別為屈曾發刻本及孔繼涵微波榭《算經十書》本。戴震的輯錄校勘都嫌粗疏。清李潢以微波榭本為底本作《九章算術細草圖說》(1812)，亦作校勘，是為本書之最精詳闡釋。本書之聚珍版的光緒間福建補刊本、廣雅書局翻刻本都依據李潢本作了修改，《叢書集成(初編)》本依此排印。1963年，中華書局出版錢寶琮校點《九章算術》(收入《算經十書》)，以微波榭本為底本，參校諸本，提出若干校勘。取南宋本及由聚珍版、《四庫全書》本恢復的《永樂大典》輯錄本為底本，重加校勘，并以各本匯校，由遼寧教育出版社于1989年出版，是為匯校《九章算術》。

張蒼(?—前152)，西漢初政治家、歷算學家。先仕秦，明習天下圖書計籍。后歸漢，以功封北平侯。遷為計相，主管各郡、國錢谷賦役統計。“漢家言律歷者，本之張蒼。”(《史記·張丞相列傳》)后為丞相。耿壽昌(生卒不詳)西漢末經濟學家、數學家、天文學家。宣帝時任大司農中丞。“善為算，能商功利”。曾提出若干有效的經濟措施。先秦貴族教育中便有“九數”的科目，九數即九部分數學內容，據東漢鄭玄引鄭眾說，為方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、旁要，漢朝又有勾股、重差。劉徽說：“九數之流，則《九章》是矣。”張蒼、耿壽昌皆以善算命世，先后收集先秦遺文，增補了許多當時的方法、題目，并將旁要擴充為勾股，是為本書。也有的學者認為成書于公元1世紀或公元元年前后。

本書集先秦到漢中國人民數學知識之大成，凡九章，包括近百個普遍性公式、解法，246個應用題。其主要部分采取算法統率應用題的形式，即或先列出幾個例題，再給出抽象性術文，此時例題一般只有題目、答案，或先給出抽象性術文，再列出例題，此時例題一般有題目、答案及具體術文。有一部分(主要集中在衰分章下半章、均輸章的大部分及勾股章的解勾股形問題)的術文盡管其實質有普遍性，卻不具有抽象性，而是具體問題的解法，這大約是張蒼、耿壽昌補充的內容。

本書卷1方田章提出了世界上最早的完整的分數四則運算法則;卷2粟米章的今有術是比例問題解法，后來西方的三率法與此相同;卷3衰分章、卷6均輸章解決了比例分配問題及若干算術問題;卷7盈不足章提出了盈不足各種情形的一般解法及用之于解決算術雜題的方法。卷1方田章提出了若干平面圖形的面積公式;卷5商功章提出了若干多面體和圓體的體積公式及土方工程問題;卷9勾股章提出了勾股定理，若干解勾股形問題，勾股容方、容圓及若干簡單測望問題，其中有世界上最早的勾股數通解公式。卷4少廣章提出了世界上最早的完整的開平方、開立方程序，卷9還有一測望問題歸結到開帶從平方即求解二次方程;卷8方程章的方程術即現今線性方程組解法，是本書最杰出的成就，而正負數概念及其加減法法則超前其他文化傳統幾個世紀甚至上千年。本書確定了中國古代數學的基本框架，以計算為中心的特點及理論密切聯系實際，以解決人們生產生活中的數學問題為目的風格，以及算法統率應用問題的基本形式。然而對數學概念沒有定義，對數學公式、解法沒有推導證明，是本書的嚴重缺點。此后，中國數學著述主要采用兩種方式，一是以本書為楷模編纂新的著作，一是為本書作注，其最重要的為魏劉徽注和唐李淳風等注釋。

劉徽《九章算術注》在很大程度上彌補了本書的不足，就其數學貢獻及重要性而言與本書不分軒輊。劉徽是魏晉間數學家，據考證為淄鄉(今山東省)人，生平不詳。魏陳留王景元四年(263)注本書，并自撰注“重差”作為第10卷，后“重差”以《海島算經》為名單行。又撰《九章重差圖》一卷，已佚。

劉徽注全面論證了本書的公式、解法。它發展了本書的率概念，提出了率的定義：“凡數相與者謂之率”，并把率看成運算的綱紀，提出率有“粗則俱粗，細則俱細，兩數相抱”的性質，論述了率的二種等量變換：乘以散之，約以聚之，齊同以通之，用率論述了本書大部分算法，近200個題目。它提出今有術是普遍方法，九章中的許多問題的解法都可以歸結到此術，所謂今有術即比例方法，西方稱為三率法。它發展了前代數學家使用的出入相補原理，運用該原理，證明了許多多邊形面積及多面體體積公式。將無窮小分割方法引入數學證明是劉徽注的最大成就。圓田術注用極限思想證明了圓田術“半周半徑相乘得積步”即圓面積公式。它用圓內接正多邊形序列逼近圓，“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”繼而將與圓周合體的正多邊形分割成無窮多個小三角形，求其面積之和便完成了證明。它關于體積問題的論述已經接觸到現代數學體積理論的核心問題。陽馬術注指出，鱉臑(四面體)是解決多面體體積的“功實之主”，與現代數學的結論完全一致。它認為用基驗法與有限次分割，無法證明本書的陽馬(直角四棱錐)體積等于其長、寬、高之積的1/3，及鱉臑(四面皆為勾股形的四面體)體積等于其長、寬、高之積的1/6這兩個公式，遂將一個長方體沿相對兩棱斜解，得到兩個塹堵，將一個塹堵斜解，得到一個陽馬與一個鱉臑，接著提出一個重要原理：在一個塹堵中，“陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也。”即塹堵中陽馬與鱉臑體積之比恒為2∶1，它用三個互相垂直的平面平分塹堵的長、寬、高，首先證明了上述原理在塹堵的3/4中成立，又以同樣的方式分割剩余的1/4(為與原塹堵相似的兩小塹堵)，又可證明上述原理在剩余的1/4的3/4中成立，這個過程可以無限繼續下去，“半之彌少，其余彌細。至細曰微，微則無形。由是言之，安取余哉?”便證明了上述原理在整個塹堵中成立。根據該原理，由塹堵體積為其長、寬、高之積的1/2，便同時證明了本書的陽馬、鱉臑體積公式。數學大師高斯曾提出四面體體積的解決不借助無窮小分割是不可能的猜想，這一猜想后來成為希爾伯特“數學問題”的第三個問題(1900)的核心，并由希氏的學生給以肯定的解決。劉徽在他們之前約1600年就開始考慮該問題，并以此為基礎建立自己的多面體理論。劉徽注提出圓錐、圓臺、球分別與外切方錐、方臺、牟合方蓋(劉徽設計的一種立體)的體積之比為π∶4，批評了本書球體積公式的錯誤，指出了解決球體積的正確途徑，為后來祖暅之原理的提出并最終解決球體積問題作了準備。劉徽注把無窮小分割思想用于近似計算。首先是創造圓周率的正確求法，它批評本書使用周三徑一及前人“習其謬失”的錯誤，利用割圓程序與勾股定理求出直徑為2尺的圓的內接正6、12……96邊形的邊長及192邊形的面積，取314寸²為圓面積近似值，利用圓面積公式求出圓周長近似值6尺2寸8分，從而求出圓周率157/50，用同樣的方法又求出π=3927/1250。人們認為，后來祖沖之利用這一方法將π值精確到8位有效數字。劉徽注指出本書弓形面積公式不準確，便利用割圓方法，用一串三角形面積之和逼近弓形，可以把弓形面積精確到所需要的程度。在開方不盡時，它提出求微數的方法，與現今求無理根近似值的方法相同，不僅開后來十進小數之先河，而且是計算圓周率精確近似值的重要步驟。求微數的思想及計算圓周率近似值的程序奠定了中國圓周率計算領先世界千余年的基礎。

劉徽注把數學的各個分支與全部知識看成一個有機整體：“事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干知，發其一端而已。”這個端就是“規矩度量可得而共”。這也形象地概括了中國數學以算法為中心，幾何問題與算術、代數問題相結合的特點。劉徽注論證嚴謹，條理清晰，沒有任何循環推理，并且以演繹邏輯為主。劉徽注還對學習研究數學的方法作了精辟論述，把數學方法比作庖丁的刃，“易簡用之則動中庖丁之理”，認為不懂得靈活運用數學方法，徒按本術，便是膠柱調瑟之類。這些思想對后世影響極大。

李淳風(602—670)，唐初天文學家、數學家。岐州雍(今陜西省鳳翔縣)人。貞觀初入太史局，造渾儀。十五年(641)遷太史丞，二十二年遷太史令。造麟德歷，撰《晉書》、《隋書》之《律歷志》，及《乙巳占》等。奉詔與算學博士梁述等編纂注釋《算經十書》，顯慶元年(656)完成，高宗頒國學行用。

李淳風等《九章算術注釋》批評了本書的輸章負籠術的錯誤，以π=22/7代替本書之π=3及徽率π=157/50入算，其他方法則幾無創新，而他對劉徽注的幾處批評都反映出其數學水平、邏輯思想遠在劉徽注之下。李淳風等注釋最有意義的是引用祖暅之開立圓術，保存了祖暅之原理，即“夫疊綦成立積，緣冪勢既同，則積不容異”，以及祖暅之以此原理求出牟合方蓋的體積，從而徹底解決球體積公式的方法。《綴術》失傳之后，祖沖之父子的這兩項重大成就賴此得以流傳。傳本《九章算術》卷5、7、8無李淳風等注釋。

參考文獻

• 1.郭書春匯校:《九章算術》,遼寧教育出版社,1989。
• 2.錢寶琮主編:《中國數學史》,科學出版社,1964。
• 3.中國科學院自然科學史研究所編:《科學史集刊》,第11期,地質出版社,1984。
• 4.吳文俊:《吳文俊文集》,山東教育出版社,1986。
• 5.郭書春:《三世紀世界數學泰斗劉徽》,山東科學技術出版社,1990。