《詳解九章算法》的主要內(nèi)容,《詳解九章算法》導(dǎo)讀

《詳解九章算法》是中國古代重要數(shù)學(xué)著作，宋元數(shù)學(xué)高潮代表作之一。南宋景定二年(1261)楊輝(見“楊輝算法”)以魏劉徽注、唐李淳風(fēng)等注釋，北宋賈憲細草的《九章算術(shù)》為底本撰注，12卷。楊輝在世時曾刊印，今已不傳。明修《永樂大典》(1408)，曾分類抄錄本書，名曰《詳解九章》，有關(guān)的《永樂大典》今僅存卷16343、16344，內(nèi)含本書卷4衰分(下)、卷5少廣的內(nèi)容。清中葉毛生甫家藏一部石研齋主人秦黌抄本，僅存卷6商功之一部分、卷7均輸、卷8盈不足、卷9方程、卷10勾股及卷末纂類。道光二十二年(1842)上海郁松年囑宋景昌校勘后刻入《宜稼堂叢書》，《叢書集成(初編)》是其排印本。郁松年等認為此書中除《九章算術(shù)》本文、劉、李注之外的內(nèi)容均系楊輝所撰。近考，楊輝說他以賈憲《黃帝九章算經(jīng)細草》為底本，“擇80題以為矜式，自余166問，無出前意，不敢廢先賢之文，刪留題次，習(xí)者可以聞一知十”，而卷5—10凡四卷半、98題中，有《九章算術(shù)》劉、李注之外文字者即達92問，說明此書包括《九章算術(shù)》本文、劉徽注、李淳風(fēng)等注釋、賈憲細草(原書全名《黃帝九章算經(jīng)細草》)和楊輝詳解5種內(nèi)容。本書卷2—10《九章算術(shù)》本文以外的大字，即新設(shè)題目、術(shù)(法)、草，以及某些注釋，是賈憲細草即《黃帝九章算經(jīng)細草》的內(nèi)容。而解題、比類、詳解及一部分注釋(全部用小字)，是楊輝所撰。卷首圖、卷一乘除(均已佚)、卷末纂類全部為楊輝所撰。

賈憲，北宋數(shù)學(xué)家，生平、籍貫不詳，是北宋天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家楚衍的學(xué)生，撰《黃帝九章算經(jīng)細草》9卷、《算法數(shù)古集》二卷(已佚)。北宋仁宗時曾任左班殿直，大約生活在11世紀上半葉。他重視算法研究，在算法的抽象化、程序化上作出極大貢獻，是宋元數(shù)學(xué)高潮的主要推動者之一。

《黃帝九章算經(jīng)細草》是劉徽《九章算術(shù)注》之后關(guān)于《九章算術(shù)》最重要的研究著作，它以劉徽注、李淳風(fēng)等注釋的《九章算術(shù)》為底本，補充了若干新設(shè)的題目、術(shù)(或法)、細草，有的是術(shù)(法)草合一，大字為術(shù)(法)，小字為草。南宋紹興十八年(1148)榮棨曾刊刻，名為《黃帝九章算經(jīng)》，今已不存。楊輝作《詳解九章算法》時抄錄了賈憲細草的部分內(nèi)容。今隨楊輝本書存賈書卷3衰分(下)、卷4少廣(《永樂大典》卷16343、16344)、卷5商功(一部分)、卷6均輸、卷7盈不足、卷8方程、卷9勾股(《宜稼堂叢書》本)，其余部分已佚。賈憲提出的術(shù)(法)有以下幾種情況。1.將《九章算術(shù)》原來未離開題設(shè)對象及數(shù)字的術(shù)文抽象或具有普適性的術(shù)文，如勾股章解勾股形諸問的解法分別被抽象成勾及股弦較求股弦法、勾及股弦和求股弦法、勾股較及弦求勾股法、勾弦較股弦較求勾弦法、勾弦和率股率求勾股弦三率法等一般性方法，均輸章的情況也是如此，這就在劉徽注的基礎(chǔ)上大大提高了《九章算術(shù)》的抽象化程度。2.在《九章算術(shù)》已有的方法之外，給出若干新的方法，如盈不足章將用盈不足術(shù)解決的一般算術(shù)問題根據(jù)問題本來的性質(zhì)分別給出互換術(shù)(即《九章算術(shù)》之今有術(shù))、分率術(shù)、合率術(shù)解法，又如均輸章九節(jié)竹問，用方程術(shù)求解，為后來楊輝等對《九章算術(shù)》重新分類作了準備。3.對許多數(shù)學(xué)分支進行總結(jié)，如在勾股章首賈憲提出“勾股并而為和，減而為較，等而為變?yōu)槎危猿藶榉e為冪”的界定，接著提出“勾股生變十三名圖”，即勾、股、弦、勾股較、勾弦較、股弦較、勾股和、勾弦和、股弦和、弦較和(即弦與勾股較之和)、弦和和(即弦與勾股和之和)、弦和較(即勾股和與弦之較)、弦較較(即弦與勾股較之較)13種關(guān)系及其變成勾股較、股弦較、弦和較的段數(shù)，包括了勾、股、弦及其和、差的所有可能的關(guān)系，比《九章算術(shù)》和劉徽都進了一步。賈憲說這些關(guān)系“有用而取，無用不取，立圖而驗之”，表明它對勾股理論有提綱挈領(lǐng)的作用。對開方術(shù)，賈憲提出了開方作法本源，即賈憲三角(中學(xué)課本及某些讀物誤為楊輝三角)，它是將二項式(a+b)ⁿ，n=0，1，2…的展開式的系數(shù)自上而下排成一個等腰三角形。賈憲三角下面有五句話概括了三角中各數(shù)在立成釋鎖開方法中的作用。賈憲還提出了“釋鎖求廉本源”，即“增乘方求廉法”，說明了賈憲三角的造法。賈憲三角不僅用來開方，還成為元朱世杰解決高階等差級數(shù)求和問題的有力工具。后來阿拉伯地區(qū)也出現(xiàn)同類三角，17世紀法國帕斯卡也提出了這個三角，故西方稱之為帕斯卡三角。4.對原有方法進行改進，或創(chuàng)造新的方法。賈憲吸取《九章算術(shù)》、劉徽、《孫子算經(jīng)》等開方法的長處，揚棄了其不足，提出了立成釋鎖開方法，其程序與現(xiàn)今無異。賈憲最重要的貢獻是創(chuàng)造增乘開方法。這是用遞增方法即隨乘隨加達到立成釋鎖法適用賈憲三角各廉異曲同工的目的。賈憲不僅有開平方、開立方的增乘開方法，而且有遞增三乘開方法即增乘開四次方的程序，說明賈憲確已能開高次方。增乘開方法整齊、簡捷，只要掌握了定位及退位方法，其余程序?qū)θ魏未伍_方都相同，容易掌握。這種方法對宋元數(shù)學(xué)影響極大，開方術(shù)的研究成為宋元數(shù)學(xué)最重要的課題，蓋肇源于此。稍后，阿拉伯人也掌握了這種方法，西方在19世紀初創(chuàng)造了同類方法，叫霍納法或魯菲尼—霍納法。

《詳解九章算法》中楊輝所撰部分現(xiàn)存卷4—10中的解題、比類及卷末纂類。這三項是古算經(jīng)注疏體例上的創(chuàng)新。楊輝說：“恐問隱而添題解”，“解題”是對《九章算術(shù)》原題的性質(zhì)以及某些名詞作解釋，也有文字校勘或方法的評論。楊輝說“僭比類題以通俗務(wù)”，即以應(yīng)用對象不同而算法相同，或應(yīng)用對象相類而算法有異的題目與《九章算術(shù)》的題目相類比。最值得重視的是商功章以各種垛積分別與同形狀的立體相比類。在中國，垛積問題最先是由北宋沈括(1031—1095)創(chuàng)造的，叫隙積木，是求酒壇、水果壘成的堆垛的體積，實際上是二階等差的數(shù)求和問題，開宋元這一課題之先河。楊輝以方垛、方錐垛、三角垛、芻甍垛、芻童垛分別比類于方亭、石錐(陽馬同)、鱉臑、芻甍 、芻童，給出了這些垛積的公式，說明了與其相比類的立體體積公式的差異。雖然它們都可由沈括的隙積木推出，但畢竟擴展了二階等差級數(shù)的應(yīng)用范圍。卷末纂類是對《九章算術(shù)》的方法和題目重新分類。纂類中有三種分類表，都是把《九章算術(shù)》的246個題目分成乘除、互換、合率、分率、衰分、疊積、盈不足、方程、勾股9類。題目的具體分配有區(qū)別，看來第3種是楊輝的分類，在這種分類中，將《九章算術(shù)》的73種方法也分入上述9類中。楊輝的要求是“以法問淺深，資次類章”。這種分類盡管仍有不盡合理之處，但按數(shù)學(xué)方法分類，廢止按應(yīng)用分類，突破了《九章算術(shù)》的格局，是個創(chuàng)舉。

參考文獻

• 1. 《永樂大典》卷16343、16344,中華書局,1960。
• 2.嚴敦杰:《宋楊輝算書考》,《宋元數(shù)學(xué)史論文集》,科學(xué)出版社,1966。
• 3.郭書春:《賈憲<
• 黃帝九章算經(jīng)細草>
• 初探》,《自然科學(xué)史研究》,1988,第4期。
• 4.郭書春:《賈憲的數(shù)學(xué)成就》,《自然辯證通訊》,1989,第1期。