昔在庖犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情，作九九之(數)〔術〕，以合六爻之變。暨于黃帝神而化之，引而伸之，于是建歷紀，協律呂，用稽道原，然后兩儀四象、精微之氣可得而效焉。記稱隸首作數，其詳未之聞也。按周公制禮而有九數，九數之流，則《九章》是矣。

往者暴秦焚書，經術散壞。自時厥后，漢北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補。故校其目則與古或異，而所論者多近語也。

徽幼習《九章》，長再詳覽。觀陰陽之割裂，總算術之根源，探賾之暇，遂悟其意。是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注。事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干者知，發其一端而已。又所析理以辭，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣。且算在六藝，古者以賓興賢能，教習國子。雖曰九數，其能窮纖入微，探測無方。至于以法相傳，亦猶規矩度量可得而共，非特難為也。當今好之者寡，故世雖多通才達學，而未必能綜于此耳。

《周官·大司徒》職，夏至日中立八尺之表。其景尺有五寸，謂之地中。說云，南戴日下萬五千里。夫云爾者，以術推之。按《九章》立四表望遠及因木望山之術，皆端旁互見，無有超邈若斯之類。然則蒼等為術猶未足以博盡群數也。徽尋九數有重差之名，原其指趣乃所以施于此也。凡望極高、測絕深而兼知其遠者必用重差、句股，則必以重差為率，故曰重差也。立兩表于洛陽之城，令高八尺。南北各盡平地，同日度其正中之時，以景差為法，表高乘表間為實，實如法而一。所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表間為實，實如法而一，即為從南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地為句、股，為之求弦，即日去人也。以徑寸之筩南望日，日滿筩空，則定筩之長短以為股率，以筩徑為句率，日去人之數為大股，大股之句即日徑也。雖夫圓穹之象猶曰可度，又況泰山之高與江海之廣哉。徽以為今之史籍且略舉天地之物，考論厥數，載之于志，以闡世術之美，輒造《重差》，并為注解，以究古人之意，綴于《句股》之下。度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求^〔51〕者四望。觸類而長之^〔52〕，則雖幽遐詭伏^〔53〕，靡所不入，博物君子，詳而覽焉。

〔注釋〕 庖犧： 又作包犧、伏犧等，中國古代的傳說人物。 八卦： 周易的八種圖形。卦由稱為爻的“—”和“--”兩種符號，三個一組而成。分別名為乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌，象征天、地、雷、風、水、火、山、澤。每卦又可象征其他事物。 通神明之德： 通曉變化的性質。 類萬物之情： 類分萬物之情狀。 九九： 即乘法口訣，至遲在戰國時已有。 六爻： 六個爻組成一個卦，稱為重卦，有六十四個，代表天地萬物，如乾卦為。演卦時，組成卦的每個爻，陽爻(—)可變陰爻(--)，陰爻(--)也可變陽爻(—)。 黃帝： 距今四千多年前的部落聯盟領袖。后以其為“人文始祖”，加以祭祀。后世曾將許多發明創造附會于他，數學是其中之一。 歷紀： 日月運行軌道的分紀。 律呂： 六律六呂的合稱，即十二律。其中，單數為律、偶數為呂。律是與尺度相關的音高標準。 兩儀四象： 《易·系辭上》：“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。”兩儀，指天地，有時也指陰陽。四象之說歷來不一，有四時，有陰陽剛柔，有吉兇、變化、悔吝、剛柔，有太陰、少陽、少陰、太陽等。 隸首： 傳為黃帝之臣，創作算數。 周公： 即姬旦，輔助兄姬發伐紂滅商。武王死后，成王年幼，攝政。傳說他以方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要為九數。 張蒼(約前260—前152)： 秦漢際陽武(治今河南原陽東南)人。秦時為御史，參加農民起義。漢初，累官至丞相，通天文、數學，編有《九章算術》。 耿壽昌： 西漢人。宣帝時，任大司農中丞，改進漕運，置常平倉。精于天文、數學，制作渾象，提出用黃道度量日月運行和方位，著有《月行圖》、《月行帛圖》，刪補《九章算術》。 割裂： 從總體中分割出若干部分。 總： 持。 探賾： 探索奧秘。 事類相推： 根據定義、定理、公式、解法作演繹。 攸： 所。 枝條雖分而同本干知： 知，者也。全句以樹木的枝條與本干的關系，比喻各種算法都是源于空間形式和數量關系的統一性。 析理以辭： 用語辭解說數學術語、概念、理論。 解體用圖： 用平面圖形或立體模型解析問題。 庶： 差不多。 約而能周： 簡要又能完備。 通而不黷： 貫通又不煩雜。 六藝： 禮、樂、射、御、書、數六種技藝。 賓興： 周代舉賢之法。鄉大夫向天子薦舉賢能者，先以其人為賓客，用飲酒禮接待。 國子： 周代卿大夫子弟的稱呼。 法： 計算方法。 規矩度量可得而共： 規和矩分別是畫圓方的儀器，在此指代空間。度量，分別是長度和重量，在此指代數量關系。共，統一。此說數學來自空間形式和數量關系的統一。 《周官·大司徒》： 《周官》即《周禮》，《大司徒》在《周禮》第二篇《地官司徒》。大司徒的職務繁多，總綱是“掌建邦之土地之圖與人民之數，以佐王安擾邦國。” 表： 測量用的標桿。 景： 影。 地中： 大地之中。 戴： 當、值。 爾： 如此。 端旁： 頂端界畔。 超邈： 高遠。 重差： 通過兩次差解決復雜測量的方法。差，表示減法運算的結果，包括兩數相減或兩圖形之差。 率： 事物數量上的相關性。 法： 除法運算中的除數。 實： 除法運算中的被除數。 實如法而一： 如，等于。被除數中有與除數相等者，便得商數一。 筩： 兩頭無節中空的竹管。 圓穹之象： 日、太陽。 厥： 其。 重表： 重差術的三個基本方法之一，使用二個表。 累矩： 重差術的三個基本方法之一，使用二個矩。 孤離： 孤立分離。 三望： 三次觀察。 〔51〕 旁求： 用以三望之矩外另用一矩。 〔52〕 觸類而長之： 語見《易·系辭上》。意謂掌握一類事物知識或規律后，就能據此增長同類事物的知識。 〔53〕 幽遐詭伏： 比喻深奧。

(賀圣迪)

〔鑒賞〕 《九章算術注序》的作者劉徽，淄鄉(今山東鄒平)人。生于漢末，歷魏入晉。自幼好學，博覽經史諸子算術之書，于《周易》、《周禮》、《左傳》、《論語》、《老子》、《莊子》、《管子》、《墨子》、《論衡》、張衡之作，均加潛研，尤耽《九章算術》。曾至洛陽，從事天文觀測。或云仕魏，官為儀同，陳留王景元四年(263年)，著成《九章算術注》十卷。

《九章算術注》前九卷，分別注釋《九章算術》之方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股，對其作了全面研究，拓展諸術，正其錯誤，提出新法；且界定概念，為作論證，奠定中國古代數學的理論基礎。卷十重差，后以單本行世，名為《海島算經》。徽注發展了出入相補原理，表述無窮小和極限思想；證明圓面積、陽馬、鱉臑體積公式；首創求圓周率精確值的方法；提出求弧田密率、開方不盡求微數法，為徹底解決球體體積指出正確途徑等。

書前自序，所語有兩方面： 其一，論述了《九章》歷史；其二，論述了自己對《九章》的研究、擴展。

劉徽論說數學源流、發展，又認為張蒼等所定的《九章算術》“未足以博盡群數”。回顧數學史，在劉徽之前，《世本》、《尸子》、《呂氏春秋》、《周髀算經》等書，都曾談到數學，但只是記載零星。對此前的數學發展歷程，作較為系統的論說，劉徽是第一人，雖然所說只是《九章》部分。是為學論史，以史證明數學在發展，處于變化之中。

劉徽認為之前的數學可分為五個階段。一、 創始。伏犧“作九九之術”。二、 發展。黃帝引伸，用于天歷、音律等領域。三、九數。周公確定九數，將其納入禮中，并以數學為學校教育內容之一。四、 散壞。秦代焚書，禍及九數。五、 成書。張蒼、耿壽昌先后刪補殘本，成傳世之《九章算術》。

上述見解，正誤相雜。他認為中國古代數學發展歷程是從無到有，由九數到《九章》大體符合實際。但說由伏犧作數術，又以八卦為伏犧氏數學的另一成就等，則顯然不符實際。

劉徽在概述數學史時，兼談何謂數學。他認為數與形及其變化，為客觀事物所本有。在“通神明之德”、“類萬物之情”中，為人所認識，形成了數學。數學是“規矩度量可得而共”，是空間形式和數量關系的統一體。數學術法，可分為不同門類，雖有不同，卻屬一個體系，好似一棵樹“枝條雖分而同本干”。數學形成后，“以法相傳”、“觸類而長”，有其相對獨立性。

研究數學，要“觀陰陽之割裂，總算術之根源，探賾之暇，遂悟其意。”這是說，要把持住數學形成的根源，像氣分陰陽那樣將其分為各個方面，在探索奧秘中，領悟其理。所采用的一般方法，有“事類相推”、“析理以辭”、“解體以圖”等。事類相推是將相同的歸為一類，概括成一般的定義、定理、公式、法則，而后或推理得出新的認識，或演繹解決具體題目。“析理以辭”，用語辭解說數學術語、概念、理論，解析用圖，用平面圖形或立體模型解決問題。在他看來，這樣可達到“纖而能周”、“通而不黷”。簡要又能完備，貫通而不煩雜。

《九章算術》成書后，廣為流傳。許商、杜忠、馬續、鄭玄、劉洪、闞澤等人都曾加以研究。由于書中沒有留下任何推導和證明，沒有給出術語的定義，許多學者在探討解法、論證、推導和定義等方面，作出種種努力，對劉徽予以啟示。劉徽注《九章》。其后，注文與正文合為一書。劉徽注在吸取前人成果基礎上，自己又作出多方面的貢獻。后人藉劉注，得以閱讀、研究《九章》，并探究劉注在數學上的新成就。自南北朝起一直到唐代，許多數學家、科學家都研究過劉徽的注，受過他的影響。在唐宋時代，它還是國家數學專科學校學生，必須學習的教材。總之，《九章算術注》，在中國封建時代，無論就數學的發展還是普及，都起過重大作用。

在當代，《九章算術注》仍有其現實價值。首先，它的內容可融入中小學數學教材及輔助讀物。其次，其思想和方法，對當代數學研究有啟示作用。現代計算機數學，其方式方法需要機械化、程序化和構造性，《九章算術》及劉徽注正具有這一特點。其三，啟示當代學者提出新課題，以推進學術發展。最后，能增強民族自豪感，激勵國人為中國復興而努力。