《益古演段》的主要內容,《益古演段》導讀

《益古演段》是元朝重要數學著作。元李冶(見《測圓海鏡》)1259年撰。李冶去世后于至元十九年(1282)由李師征刊刻，硯堅序，今不傳。明修《永樂大典》(1408)，將其抄入。清乾隆間《四庫》館臣由《永樂大典》中將其輯出，加以校勘，收入《四庫全書》。嘉慶二年(1798)李銳以《四庫》本為底本，重新算校，由鮑廷博刻入《知不足齋叢書》。后來，同治十三年(1874)丁取忠《白芙堂算學叢書》本、光緒二十四年(1898)劉鐸《古今算學叢書》本、王云五主編《叢書集成(初編)》本，均是《知不足齋叢書》本的翻刻本或排印本。

李冶在本書自序中進一步闡發了他對數學重要性的看法，指出“術數雖居六藝之末，而施之人事則最為切務”。他自述本書的前身是《益古集》，據祖賾《四元玉鑒后序》，《益古集》的作者是平陽(今山西省臨汾縣)蔣周，生平不詳，估計為北宋人。李冶認為《益古集》成就可與劉徽、李淳風相頡頑，而“其閟匿而不盡發”，數理不清晰，于是“再為移補條段，細繙圖式，使粗知十百者便得入室啗其文”，遂成是書。

本書分3卷，64問，以方田、圓田其周、徑的各種關系為主要內容，以天元術為主要方法。各題分題目、答、法、依條段求之、義、舊術諸項。其中法是根據問題條件，用天元術列出一元二次方程，相當于《測圓海鏡》的法、草兩部分內容。絕大多數題目都有“以條段求之”和“義”兩項，條段一詞源于《益古集》，實際上是用出入相補原理對方程的建立過程進行幾何解釋，“義”則對某些條段的意義進一步闡釋，有22題共含有24條舊術，當是《益古集》原文，說明當時并沒有天元術，是研究該書的寶貴資料。

天元術即今設未知數列方程的方法。設天元一為所求的數，根據問題條件列出兩個等價的天元式，如積相消，便得到一個一元方程，再用開方式求其正根。李冶在《測圓海鏡》的天元式記法采取正冪在上、負冪在下，在本書中則倒過來，負冪在上，正冪在下，與傳統的開方式順序一致。

參考文獻

• 1.錢寶琮:《中國數學史》,科學出版社,1964。
• 2.梅榮照:《李冶及其數學著作》,《宋元數學史論文集》,科學出版社,1966。
• 3.孔國平:《李冶傳》,河北教育出版社,1988。