《關于作為幾何基礎的假設》作品簡析與讀后感

本書是G·B·黎曼在1854年為了取得教授資格對哥根廷的全體數學教員發表的演講。當時題目為《幾何基礎》，這是由C·F·高斯指定的。這個演講在黎曼死后兩年以《關于作為幾何基礎的假設》發表，當時用德文出版。本書中黎曼提出的幾何并不只是高斯微分幾何的推廣。他重新考慮了研究空間的整個途徑，他研究了關于物理空間究竟可以相信什么的問題。他的思想是：依靠分析，我們可以從關于空間無疑是先驗的東西出發，導出必然的結論，于是就會知道空間的任何其它的性質都是經驗的。他從定義“兩個一般點之間的距離”出發，仿照高斯曲面所用的方法，推出一種度量的幾維幾何。黎曼的第二個重要概念是流形的曲率概念，他試圖通過曲率去刻劃歐幾里得空間和更一般的空間，在這種空間中圖形可以挪動而不改變其形狀或大小。黎曼關于n維流形的曲率概念是高斯關于曲面的總曲率概念的推廣。他在完成了n維幾何的一般研究，并說明如何引進曲率以后，進而考慮特定的流形，在這種流形上，有限的空間形式應當能夠移動，而不改變其大小或形狀，并且能夠按任意方向旋轉，即常曲率空間。他還指出空間的無界性(球的表面就是這種情形)和無限性的一種區別，他說：無界性與任何其它由經驗得來的事情，例如與無限廣度相比，有更大的經驗可信性。他相信天文學將判定某一種幾何符合于空間。他以下面的評論結束他的文章：“所以，或者作為空間基礎的客體必須形成一個離散的流形，或者在作用于它上面的約束力之下，我們應當從它的外部尋找其度量關系的根據。”這就把我們引到另一門科學——物理學的領域，我們的工作的宗旨不容許我們今天進入那個領域。本書出版后，引起了許多數學家強烈的興趣，他們忙著去充實書中所概述的思想，并加以推廣。黎曼的工作為后來愛因斯坦的相對論提供了幾何解釋。